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Stephan Jank

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2003-04-11

Die totale Ordnung

Über einen Wesenszug des Geldes

In unserer Reihe "Warum die Mathematikstunden an Österreichs Schulen gekürzt werden sollen" wollen wir heute den Begriff der totalen Ordnung untersuchen, der im 19. Jahrhundert Einzug in die Verbandstheorie gehalten hat. Wir wollen die Auswirkungen dieses Begriffs auf moderne Geldgesellschaften untersuchen und vielleicht gelingt es uns ja, daraus einen Schluss zu ziehen.

Ausgangspunkt der mathematischen Begriffsbildung stellen Strukturen dar, deren Elemente in reflexiven, antisymmetrischen und transitiven Relationen stehen. Eine solche Relation nennt der Mathematiker eine Halbordnung. (Die Leser von der eiligen Fraktion können sich das Kleingedruckte sparen)


Der klassische Modellfall einer solchen Halbordnung ist die Teilbarkeitsrelation der natürlichen Zahlen. Also: a steht in Relation zu b, wenn b durch a teilbar ist. Wir schreiben dafür a|b.

Der geneigte Leser erkennt sofort:

| ist reflexiv denn: a|a für alle a. Oder anders gesagt: Jede Zahl läßt sich durch sich selbst teilen.

| ist antisymmetrisch, denn a|b und b|a => a = b. Oder anders gesagt: Es gibt keine zwei verschiedenen Zahlen, die sich gegenseitig teilen.

| ist transitiv, denn a|b und b|c => a|c. Oder anders gesagt: Wenn a einen Teiler von c teilt, dann teilt a auch c selbst.


Solche Halbordnungen lassen sich in Hasse-Diagrammen darstellen und führen zu verblüffend komplexen Strukturen innerhalb der untersuchten Mengen. Bereits für die ersten 15 natürlichen Zahlen ergibt sich hinsichtlich der Teilbarkeit folgendes Diagramm:

Aber das war nicht nur den deutschen Mathematikern viel zu unordentlich. Was lag daher näher, als die wirkliche Ordnung zu untersuchen. Die totale Ordnung eben.

Man hat natürlich rasch erkannt, woran die Halbordnung krankt: Weder ist nämlich 15 durch 7, noch ist 7 durch 15 teilbar. Ein untragbarer Zustand. Zwei Elemente, die nicht miteinander in Relation stehen, die sich nicht miteinander vergleichen lassen, die sich einen Scheißdreck um diese Ordnung kümmern. Eine solche Ordnung kann nur eine halbe sein.

Und daher forderte man von einer richtigen, einer totalen Ordnung, nicht nur die 3 Halbordnungsgesetze sondern auch noch, dass jedes Element mit jedem anderen vergleichbar sein müsse.

Den klassischen Modellfall einer solchen totalen Ordnung stellt die <= Relation der natürlichen Zahlen dar. Dass es sich dabei um eine Halbordnung handelt, sieht der geneigte Leser sofort. Das Hasse-Diagramm aber zeigt, was man sich dadurch eingehandelt hat:

So schaut's aus in der totalen Ordnung. Und so schaut's aus in unseren Gesellschaften. Denn:

Die <= Relation macht die Menge aller Geldbeträge zu einer total geordneten Menge. Und da in unserer Gesellschaft alles und jedes auf einen Geldbetrag abgebildet wird, läßt sich diese totale Ordnung hervorragend in die Gesellschaft zurückführen: Soziokleiner ist, was monetokleiner ist. Und damit ist das erste grosse Ziel erreicht:

Die Gesellschaft ist total geordnet. Man kann endlich Äpfel mit Birnen vergleichen. Man kann Krankenhäuser mit Industriebetrieben vergleichen. Man kann Erdöl mit Windkraft vergleichen. Man kann Beamte mit ASVG-Versicherten vergleichen. Man kann sein Auto mit der Yacht des Nachbarn vergleichen. Man kann Aerobic mit Lesen vergleichen. Kurz:

Geld schafft totale Vergleichbarkeit.

Nun induzieren solche Abbildungen (Ordnungshomomorphismus = Bewertung) ihrerseits eine Faktorisierung der Gesellschaft in Klassen, die auf denselben Geldbetrag abgebildet werden. Und dieser Prozess läßt sich durch die Granularität der Bewertung hervorragend steuern. Und genau das passiert auch. Und wie das passiert!

Die Monatsleistung einer Hofer-Kassiererin wird auf einen geringfügig anderen Geldbetrag abgebildet, wie die Monatsleistung einer Billa-Kassiererin. Ein Beamter wird geringfügig anders bewertet als ein ähnlich qualifizierter ASVG-Versicherter. Das Auto des Nachbarn hat einem geringfügig anderen Geldwert als das eigene.

Die dadurch induzierte gesellschaftliche Faktorisierung wird also so feinkörnig, dass die damit einhergehende Klassenbildung gar nicht mehr wahrnehmbar ist. Und genau das ist die Reaktion des Kapitals auf die Marx'sche Drohung. Es schafft die gesellschaftlichen Klassen ab, indem es die Anzahl dieser Klassen gegen unendlich streben läßt, wie wohl ein Mathematiker sagen würde.

Was übrig bleibt, ist eine völlig desolidarisierte (höchstens noch solid-arische), klassenlose Gesellschaft, die man gar nicht mehr teilen kann, um über sie zu herrschen. Keine Diktatur der Welt hat eine Gesellschaft so total und damit (im soziologischen Sinn) totalitär geordnet wie die kapitalistische Demokratie.

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